Поурочные планы геометрия класс 9 шлыков

Dating > Поурочные планы геометрия класс 9 шлыков

Download links: → Поурочные планы геометрия класс 9 шлыков → Поурочные планы геометрия класс 9 шлыков

Поурочные разработки по геометрии 9 класс - Н. Рассмотреть решение задачи 1 пункта 109. Найдите площадь квадрата, если радиус описанной около него окружности равен 2 дм.

Объясните, как получается и что представляет собой развертка боковой поверхности конуса. If you come across any problems or wish to ask a question, please do not hesitate to contact our Support service using the. Данная точка называется центром сферы, а данное расстояние — радиусом сферы. Определение средней линии трапеции. Решение задач методом координат 107 Урок 20. Определение средней линии треугольника и ее свойство. Cookies are disabled in your browser. Поскольку материал пункта «Длина окружности» нетрадиционен и опирается на понятие предела, его изложение целесообразно дать в форме лекции. Введение системы координат дает возможность изучать геометрические фигуры и их свойства с помощью уравнений и неравенств и, таким образом, использовать в геометрии методы алгебры. Докажите, что отрезки, соединяющие середины противоположных сторон равнобедренной трапеции, взаимно перпендикулярны. Сформулировать определения медианы, биссектрисы и высоты треугольника. Значит, диагонали MP и NQ точкой пересечения делятся пополам; по признаку параллелограмма MNPQ — параллелограмм.

Пирамида 327 Урок 63. Устно провести доказательство по рис. В зависимости от подготовки класса повторение можно проводить по всем или отдельным вопросам рассматриваемой темы. Также может быть использовано учителями, работающими с другими учебниками по геометрии, например А.

Учебник по геометрии 9 класс - Задать учащимся вопросы: 1 Какие правильные многоугольники уже рассматривались в курсе геометрии?

Напоминаем, что в соответствии с профстандартом педагога утверждён Приказом Минтруда России , если у Вас нет соответствующего преподаваемому предмету образования, то Вам необходимо пройти профессиональную переподготовку по профилю педагогической деятельности. Только сейчас действует СКИДКА 50% для всех педагогов на все 111 курсов профессиональной переподготовки! Доступна рассрочка с первым взносом всего 10%, при этом цена курса не увеличивается из-за использования рассрочки! Решение задач Цели: вспомнить с учащимися сведения, необходимые при изучении геометрии в 9 классе; повторить некоторые свойства треугольников и четырехугольников; закрепить знания учащихся в ходе решения задач. Повторение ранее изученного материала. Сформулировать определения медианы, биссектрисы и высоты треугольника. Равнобедренный треугольник и его свойства. Определение средней линии треугольника и ее свойство. Теорема Пифагора и обратная ей теорема. Формула для вычисления площади треугольника. Понятие параллелограмма, свойства и признаки параллелограмма, ромба, прямоугольника. Определение трапеции, виды трапеций. Площадь параллелограмма, площадь трапеции. Повторение можно организовать в ходе решения следующих задач: 1. Докажите, что данные треугольники равны, если AD и A 1 D 1: а высоты; б медианы. Докажите, что центр окружности, вписанной в равнобедренный треугольник, лежит на высоте, проведенной к основанию. Докажите, что центр окружности, описанной около равнобедренного треугольника, лежит на медиане, проведенной к его основанию, или на ее продолжении. Докажите, что треугольник является равнобедренным, если две его медианы равны. Докажите, что если в треугольнике две высоты равны, то центр вписанной в него окружности лежит на одной из медиан этого треугольника, а центр описанной окружности — на той же медиане или ее продолжении. Докажите, что середины сторон произвольного четырехугольника являются вершинами параллелограмма. Докажите, что отрезки, соединяющие середины противоположных сторон равнобедренной трапеции, взаимно перпендикулярны. Найдите длины отрезков, соединяющих середины сторон трапеции с равными диагоналями, если ее основания раны 7 см и 9 см, а высота равна 8 см. Вершины четырехугольника ABCD являются серединами сторон четырехугольника, диагонали которого равны по 6 дм и пересекаются под углом 60°. Вычислите площадь четырехугольника ABCD. Домашнее задание: повторить материал пунктов 15; 17; 18; 19; 20; 30; 42; 43; 44; 45; 46; 49; 50; 51; 52; 53; 54; 55. Равенство векторов Цели : ввести понятие вектора, его длины, коллинеарных и равных векторов; научить учащихся изображать и обозначать векторы, откладывать от любой точки плоскости вектор, равный данному. Изучение нового материала лекция. Материал пунктов 76—78 рекомендуется изложить в виде небольшой лекции с применением разнообразных иллюстративных средств графопроектор, плакаты, таблицы, рисунки. Понятие векторных величин или коротко векторов. Примеры векторных величин, известных учащимся из курса физики: сила, перемещение материальной точки, скорость и другие рис. Обозначение вектора — двумя заглавными латинскими буквами со стрелкой над ними, например, , или часто обозначают одной строчной латинской буквой со стрелкой над ней: рис. Понятие нулевого вектора: любая точка плоскости также является вектором; в этом случае вектор называется нулевым; обозначают: рис. Определение длины или модуля ненулевого вектора. Найти длины векторов, изображенных на рисунках 243, а и 243, б. Рассмотреть пример движения тела, при котором все его точки движутся с одной и той же скоростью и в одном и том же направлении из пп. Ввести понятие коллинеарных векторов рис. Определение понятий сонаправленных векторов и противоположно направленных векторов, их обозначение рис. Нулевой вектор сонаправлен с любым вектором. Определение равных векторов: если и , то. Объяснение смысла выражения: «Вектор отложен от точки А» рис. Доказательство утверждения, что от любой точки можно отложить вектор, равный данному, и притом только один рис. Закрепление изученного материала решение задач. Домашнее задание: изучить материал пунктов 76—78; ответить на вопросы 1—6, с. Урок 2 Сумма двух векторов. Анализ результатов самостоятельной работы. Изучение нового материала лекция. Использовать таблицы «Сложение векторов», «Законы сложения», плакаты, графопроектор и др. Понятие суммы двух векторов рис. Устно провести доказательство по рис. Записатьв тетрадях: 1 для любого вектора справедливо равенство ; 2 если А, В и С — произвольные точки, то правило треугольника. Рассмотреть законы сложения векторов. Выполнение практических заданий и упражнений. Начертите попарно неколлинеарные векторы. Доказательство , равенство верно. Упростите выражения: 1 ; 2. Решение Используем законы сложения векторов: 1 ; 2. Найдите вектор из условий: 1 ; 2. Решение Используем законы сложения векторов: 1 ; 2 ; или же , тогда. Докажите, что четырехугольник ABCD — параллелограмм, если , где Р и х — произвольные точки плоскости. Доказательство ; , получим, что векторы и равны, а это значит, что и , тогда по признаку параллелограмма ABCD — параллелограмм. Домашнее задание: изучить материал пунктов 79 и 80; ответить на вопросы 7—10, с. Урок 3 Сумма нескольких векторов Цели : ввести понятие суммы трех и более векторов; научить строить сумму двух и нескольких векторов, используя правило многоугольника; учить решать задачи. Ответить на вопросы 7—10, с. Устно решить задачи: 1 Найдите вектор из условия: а ; б. Сумма нескольких векторов не зависит от того, в каком порядке они складываются. В чем заключается правило многоугольника сложения нескольких векторов? Записать в тетради правило многоугольника: если A 1, A 2,.. При сложении нескольких векторов сумма данных векторов может быть равна нулевому вектору, если начало первого вектора совпадает с концом последнего вектора. Решение Найдем сумму векторов и по правилу параллелограмма: ; найдем длину вектора. Самостоятельная работа обучающего характера. Начертите четыре попарно неколлинеарных вектора. Начертите пять попарно неколлинеарных векторов. Урок 4 Вычитание векторов Цели : ввести понятие разности двух векторов; научить строить разность двух данных векторов двумя способами; учить решению задач. Анализ результатов самостоятельной работы. Проанализировать характерные ошибки, допущенные в конт-рольной работе. Решить на доске задачи, вызвавшие затруднения у учащихся. Предложить учащимся самим «придумать» определение разности двух векторов. Определение разности двух векторов формулирует учитель :. Рассмотреть задачу о построении разности двух векторов рис. Введение понятия вектора, противоположного данному рис. Обозначение: вектор, противоположный вектору , обозначается так: —. Доказательство теоремы о разности векторов: для любых векторов справедливо равенство. Решение задачи о построении разности векторов другим способом рис. Решение задач и упражнений. Решение 1 2 3 Ответ: 6. Доказательство Так как ABCD — параллелограмм, то Но поэтому откуда IV. Вариант I Дан прямоугольный треугольник ABC с гипотенузой BC. Вариант II Дан прямоугольный треугольник ABC с гипотенузой АВ. Вариант III для более подготовленных учащихся Дана трапеция ABCD с основаниями АD и BC. Домашнее задание: повторить материал пунктов 76—82; вопросы 12, 13, с. Урок 5 Произведение вектора на число Цели : ввести понятие умножения вектора на число; рассмотреть основные свойства умножения вектора на число. Изучение нового материала лекция. Целесообразно в начале лекции привести пример, подводящий к определению произведения вектора на число, в частности такой: Автомобиль движется прямолинейно со скоростью. Его обгоняет второй автомобиль, двигающийся со скоростью, вдвое большей. Навстречу им движется третий автомобиль, у которого величина скорости такая же, как у второго автомобиля. Как выразить скорости второго и третьего автомобилей через скорость первого автомобиля и как изобразить с помощью векторов эти скорости? Естественно считать, что скорость второго автомобиля равна 2 произведению скорости первого автомобиля на число 2 , а скорость третьего автомобиля равна —2 произведению скорости на число —2. Определение произведения вектора на число, его обозначение: рис. Записать в тетрадях: 1 произведение любого вектора на число нуль есть нулевой вектор; 2 для любого числа k и любого вектора векторы и коллинеарны. Основные свойства умножения вектора на число: Для любых чисел k, l и любых векторов справедливы равенства: 1°. Рассмотренные нами свойства действий над векторами позволяют в выражениях, содержащих суммы, разности векторов и произведения векторов на числа, выполнять преобразования по тем же правилам, что и в числовых выражениях. Решение Дано: а в 3. Домашнее задание: изучить материал пункта 83; ответить на вопросы 14—17, с. Урок 6 Решение задач. Произведение вектора на число Цели : закрепить изученный материал в ходе решения задач; развивать логическое мышление учащихся. По заранее заготовленным чертежам на доске устно решить задачи: 1. На рисунке 1 ABCD — параллелограмм, O — точка пересечения диагоналей. Выразите через векторы и векторы: а б Рис. Решение Из треугольника ECD рис. Четырехугольник KMNP — параллелограмм. Выразите векторы и через векторы и. Вариант III для более подготовленных учащихся 1. Домашнее задание: повторить материал пунктов 76—83; ответить на вопросы 1—17, с. Урок 7 Применение векторов к решению задач Цели : на конкретных примерах показать применение векторов при решении геометрических задач; развивать логическое мышление учащихся, учить решать задачи. Анализ результатов самостоятельной работы. Указать ошибки учащихся при выполнении работ. Решить задачи, вызвавшие затруднения у учащихся. Ответить на вопросы на с. Вспомнить основные правила действий с векторами. Решить задачи на доске и в тетрадях: 1 Упростите выражение 2 Найдите вектор из условия 4. Векторы могут использоваться для решения геометрических задач. Разобрать решение задачи 1 на с. Точки M и N — середины сторон AB и CD четырехугольника ABCD. Докажите, что Решение Пусть О — произвольная точка. Согласно задаче 1 из п. Результат задачи 2 можно использовать при доказательстве теоремы о средней линии трапеции на следующем уроке. Задача 3 является частным случаем более общей задачи 806. Решение Так как точка А 1 — середина стороны ВС, то. При наличии времени решить задачу 4. Точки K, L, M, N — середины сторон AB, BC, CD, DE пятиугольника ABCDE, а точки P и Q — середины отрезков KM и LN. Решение Пусть О — произвольная точка. Согласно задаче 1 из п. Домашнее задание: повторить материал пунктов 76—84; разобрать решения задачи 2 из п. Урок 8 Средняя линия трапеции Цели : ввести понятия средней линии трапеции; доказать теорему о средней линии трапеции с помощью векторов; упражнять учащихся в решении задач. Проверка усвоения учащимися материала. Устно ответить на вопросы: 1 Какие векторы называются коллинеарными? Изобразите на рисунке сонаправленные векторы и и противоположно направленные векторы и. Докажите, что середины отрезков AB, MN и CD лежат на одной прямой. Решение Пусть K 1 — середина AB, K 2 — середина MN, K 3 — середина CD. Согласно задаче 2 из п. Из условия следует, что , поэтому. Таким образом, векторы и коллинеарны, и, значит, точки K 1, K 2 и K 3 лежат на одной прямой. Определение средней линии трапеции. Доказательство теоремы о средней линии трапеции проводит сам учитель. При доказательстве теоремы целесообразно использовать результат задачи 2, решенной на предыдущем уроке. Доказательство можно оформить на доске и в тетрадях в виде следующей краткой записи: Дано: ABCD — трапеция, AD BC, M — середина стороны AB; N — середина стороны CD рис. Доказательство 1 Согласно рассмотренной в классе задаче 1. Закрепление изученного материала решение задач. Решение Пусть BK — перпендикуляр, проведенный к основанию AD данной трапеции. Значит, средняя линия трапеции равна 7 см. Выразите вектор через векторы и , где A — произвольная точка. Выразите вектор через векторы и , где K — произвольная точка. Домашнее задание: изучить материал пункта 85; ответить на вопросы 18—20, с. МЕТОД КООРДИНАТ 10 часов Урок 1 Разложение вектора по двум данным неколлинеарным векторам Цели : доказать лемму о коллинеарных векторах и теорему о разложении вектора по двум неколлинеарным векторам и закрепить их знание в ходе решения задач. Анализ результатов самостоятельной работы. Устно решить задачи по заранее заготовленному чертежу на доске: Дан параллелограмм ABCD с диагоналями AC и BD, пересекающимися в точке О, а также отрезки MP и NQ, соединяющие соответственно середины сторон AB и CD, BC и AD. Требуется выразить: 1 вектор через вектор ; 2 вектор через вектор ; 3 вектор через вектор ; 4 вектор через вектор. Вопрос учащимся: можно ли для любой пары коллинеарных векторов подобрать такое число, что один из векторов будет равен произведению второго вектора на это число? Формулировка леммы о коллинеарных векторах. Для понимания учащимися формулировки леммы полезно обсудить, во-первых, почему важно условие и, во-вторых, будет ли верно утверждение, если рассматривать произвольные в том числе и неколлинеарные ненулевые векторы. Решить задачу по рисунку параллелограмма ABCD на доске тем самым подвести учащихся к мысли о возможности выражения вектора через два данных неколлинеарных вектора : Точки M и Q — середины сторон AB и AD параллелограмма ABCD. Выразите: 1 вектор через векторы и ; 2 вектор через векторы и ; 3 вектор через векторы и ; 4 вектор через векторы и. Рассмотреть теорему о разложении вектора по двум данным неколлинеарным векторам, в ходе ее доказательства полезно обратить внимание на роль леммы в доказательстве. Закрепление изученного материала решение задач. Урок 2 Координаты вектора Цели : ввести понятие координат вектора и рассмотреть правила действий над векторами с заданными координатами. Напомнить задание прямоугольной системы координат и начертить ее. Ввести координатные векторы и рис. Нулевой вектор можно представить в виде ; его координаты равны нулю: 0; 0. Координаты равных векторов соответственно равны. Рассмотреть правила, позволяющие по координатам векторов находить координаты их суммы, разности и произведения вектора на число доказательства указанных правил учащиеся могут рассмотреть самостоятельно. Записать в тетрадях правила: и — данные векторы 1 ; 2 ; 3. Закрепление изученного материала решение задач. Решение Используем условие коллинеарности векторов:. Самостоятельная работа контролирующего характера. Домашнее здание: подготовиться к устному опросу по карточкам, повторить материал пунктов 76—87; ответить на вопросы 1—20, с. Урок 3 Связь между координатами вектора и координатами его начала и конца. Простейшие задачи в координатах Цели : рассмотреть связь между координатами вектора и координатами его начала и конца; разобрать задачи о нахождении координат середины отрезка, о вычислении длины вектора по его координатам и нахождении расстояния между двумя точками. Анализ результатов контрольной работы. Указать ошибки, сделанные учащимися при выполнении работы. Решить на доске задачи, вызвавшие затруднения у учащихся. Изучение нового материала лекция. Рассмотреть по учебнику рис. Введение системы координат дает возможность изучать геометрические фигуры и их свойства с помощью уравнений и неравенств и, таким образом, использовать в геометрии методы алгебры. Такой подход к изучению свойств геометрических фигур называется методом координат. Рассмотрим три вспомогательные задачи. Используя формулу из п. Вывод: каждая координата середины отрезка равна полусумме соответствующих координат его концов. Закрепление изученного материала решение задач. Урок 4 Простейшие задачи в координатах. Решение задач Цели : закрепить знания учащихся в ходе решения задач; учить решать задачи в координатах. Двое учащихся по карточкам работают у доски: Карточка 1 1 Вывести формулы координат середины отрезка. Карточка 2 1 Вывести формулу расстояния между двумя точками. С остальными учащимися проводится устная работа по решению задач: 1 Найдите координаты вектора , равного разности векторов и , если —5; 6 , 0; —4. Значит, точка М 3; —1. Значит, точка М 0; 5. Значит, диагонали MP и NQ точкой пересечения делятся пополам; по признаку параллелограмма MNPQ — параллелограмм. Урок 5 Уравнение линии на плоскости. Уравнение окружности Цели : познакомить учащихся с понятием уравнения линии на плоскости; вывести уравнение окружности и научить записывать уравнение окружности. Математический диктант 10—15 мин. Найдите координаты середины отрезка AB, если A —2; 3 , B 6; —3. Найдите длину отрезка EH, если E —3; 8 , H 2; —4. Какая фигура состоит из множества всех точек плоскости, каждая из которых равноудалена от двух данных точек? Какая линия служит графиком этой функции? На окружности радиуса 7 см даны точки А и В, расстояние между которыми равно 13 см. Вершины треугольника ABC имеют следующие координаты: А 8; —3 ; В 5; 1 ; С 12; 0. Найдите координаты середины отрезка CD, если C 3; —4 , D —3; 6. Найдите длину отрезка KB, если K —6; —3 , B 2; 3. Прямая l является серединным перпендикуляром к основанию AB треугольника ABC и проходит через вершину C. Определите вид треугольника ABC. Какая линия служит графиком этой функции? Какой фигурой является множество точек, равноудаленных от данной точки? Вершины четырехугольника ABCD имеют следующие координаты: А —3; —1 ; В 1; 2 ; С 5; —1 , D 1; —4. Докажите, что этот четырехугольник — ромб. Разобрать пятое задание диктанта, обратив внимание учащихся на то, что им уже известны графики некоторых функций. Вспомнить уравнения параболы и гиперболы и их графики. Понятие уравнения произвольной линии дается в ознакомитель-ном плане. При этом важно добиться понимания учащимися следующего: чтобы установить, что данное уравнение является уравнением данной линии, нужно доказать, что: 1 координаты любой точки линии удовлетворяют данному уравнению и 2 координаты любой точки, не лежащей на данной линии, не удовлетворяют этому уравнению. Введение уравнения окружности радиуса r с центром С в заданной прямоугольной системе координат рис. Не любое уравнение второй степени с двумя переменными задает окружность. Закрепление изученного материала решение задач. Разобрать решение задачи по учебнику на с. Урок 6 Уравнение окружности. Решение задач Цели : закрепить знания учащихся в ходе решения задач; развивать логическое мышление учащихся. Указать ошибки, сделанные учащимися. На доске один ученик выводит уравнение окружности. С остальными учащимися проверяется решение домашних задач. Решить задачу: Напишите уравнение окружности с центром в точке А 0; 4 , проходящей через точку D —6; —4. Решение Центр окружности имеет координаты А 0; 4. Центр В 2; 1. Следовательно, координаты центров окружностей D 1 —3; 0 и D 2 5; 0. Решение Центр окружности лежит на оси ординат, значит, координаты центра С 0; y. Следовательно, центр окружности имеет координаты С 0; 4. Подставив в это уравнение координаты данных точек, получим систему трех уравнений относительно неизвестных a, b и r : Вычтем из уравнения 1 сначала уравнение 2 , а затем уравнение 3. Получим систему двух линейных уравнений с неизвестными a и b, которую учащиеся могут решить самостоятельно. Подставив эти значения в любое из уравнений, например, в уравнение 1 , находим значение r 2 и записываем искомое уравнение: III. Урок 7 Уравнение прямой Цели : вывести уравнение прямой и показать, как можно использовать это уравнение при решении геометрических задач; развивать логическое мышление учащихся. Самостоятельная работа контролирующая, 10—15 мин. Вывести уравнение данной прямой l в заданной прямоугольной системе координат рис. Вывести уравнение прямой l, проходящей через точку M 0 x 0; y 0 и параллельной оси ОX рис. Закрепление изученного материала решение задач. Учитель объясняет решение задачи: напишите уравнение прямой, проходящей через две данные точки Р 2; 1 и Q —3; —1. Назвать уравнение прямой, проходящей через ее центр и параллельной оси ординат. Назвать уравнение прямой, проходящей через ее центр и параллельной оси абсцисс. Домашнее задание: повторить материал пунктов 86—91; изучить материал пункта 92; вопросы 1—21, с. Уроки 8—9 решение задач Цели : закрепление знаний и умений учащихся по материалу главы; повторение и обобщение изученного материала; развитие логического мышления учащихся при решении задач. Напишите уравнение окружности, если ее центр — точка 4; 5 , а радиус равен 3. Напишите уравнение прямой, проходящей через точку М 3; —2 и параллельной оси ординат. Напишите уравнение окружности с центром в начале координат, если она проходит через точку С —2; 3. Напишите уравнение прямой, проходящей через две точки М —2; —1 и N 3; 1. Найдите длину вектора —12; 5. Найдите координаты середины отрезка PQ, если P 5; —3 ; Q 3; —7. Найдите координаты вектора , если А 2; —5 , В —3; 4. Напишите уравнение окружности, если ее центр — точка 4; 5 , а радиус равен 2. Напишите уравнение прямой, проходящей через точку N —2; 3 и параллельной оси абсцисс. Напишите уравнение прямой, проходящей через начало координат и точку D 3; —2. Напишите уравнение окружности с центром в точке Р —2; —1 , если она проходит через точку Q 1; 3. Найдите расстояние между точками А —1; 3 и В 2; —1. Найдите координаты вектора , равного сумме векторов и , если —12; 5 , 7; —3. Найдите координаты вектора , если С —1; 6 , D 3; —2. Опрос учащихся по теоретическому материалу. Примерные варианты карточек для устного опроса учащихся. Сформулируйте теорему о разложении вектора по двум данным неколлинеарным векторам. Выведите формулы координат середины отрезка по координатам его концов. Напишите уравнение окружности с центром в точке В 4; 0 , если она проходит через точку А 7; 4. Сформулируйте правило нахождения координат разности двух векторов. Выведите формулу для вычисления длины вектора по его координатам. Напишите уравнение прямой, проходящей через две точки А —3; —3 и В 3; 5. Сформулируйте правило нахождения координат произведения вектора на число по заданным координатам вектора. Выведите уравнение окружности данного радиуса с центром в данной точке, заданной координатами. Найдите координаты середины отрезка АВ, если даны координаты его концов А —3; 4 и В 3; —6. Сформулируйте утверждение о разложении произвольного вектора по координатным векторам. Выведите уравнение прямой l в прямоугольной системе координат, если l является серединным перпендикуляром к отрезку с концами А х 1; у 1 и В х 2; у 2. Найдите расстояние между точками М 2; —1 и N 5; —3. Решение Достаточно доказать, что данные прямые не имеют ни одной общей точки. Ясно, что эта система несовместна, то есть нет чисел х, у, удовлетворяющих этим двум уравнениям. Геометрически это означает, что данные прямые не имеют ни одной общей точки и, значит, они параллельны. Введем прямоугольную систему координат ОХY так, чтобы точка А лежала на положительной полуоси ОХ, а прямая ВС пересекала положительную полуось ОY. В этой системе координат вершины трапеции будут иметь координаты О 0; 0 , А а; 0 , С с; h и В с + b; h , где с — некоторое число. Пусть М х; у — произвольная точка. Этим уравнением задается окружность радиуса 2 а с центром в точке — а; 0 , то есть в точке, симметричной точке В относительно точки А. Организация учащихся на выполнение работы. Выполнение работы по вариантам. Выразите вектор через векторы и. Найдите координаты вектора , если , 3; —2 , —6; 2. Боковые стороны прямоугольной трапеции равны 15 см и 17 см, средняя линия равна 6 см. Выразите вектор через векторы и. Найдите координаты вектора , если , —3; 6 , 2; —2. Один из углов прямоугольной трапеции равен 120°, б óльшая боковая сторона равна 20 см, средняя линия равна 7 см. Выразите вектор через векторы и. Найдите координаты вектора , если , 6; —2 , 1; —2. Основание и средняя линия прямоугольной трапеции равны соответственно 15 см и 12 см, а меньшая боковая сторона равна 8 см. Найдите вторую боковую сторону трапеции. Выразите вектор через векторы и. Найдите координаты вектора , если , 2; 3 , 9; —9. Средняя линия прямоугольной трапеции равна 9 см, а б óльшая боковая сторона равна 24 см. Один из углов, прилежащих к боковой стороне, в два раза больше другого. Домашнее задание: повторить материал пунктов 76—87; ответить на вопросы 1—8, с. СООТНОШЕНИЯ МЕЖДУ СТОРОНАМИ И УГЛАМИ ТРЕУГОЛЬНИКА 12 часов Урок 1 синус, косинус, тангенс. Повторение ранее изученного материала. Что называется синусом, косинусом, тангенсом острого угла прямоугольного треугольника? Какое равенство называют основным тригонометрическим тождеством? Чему равны значения синуса, косинуса и тангенса для углов 30°, 45° и 60°? Ввести понятие единичной полуокружности рис. Нахождение значений синуса и косинуса для углов 0°, 90° и 180°. Закрепление изученного материала решение задач. Следовательно, треугольник является остроугольным. Скалярное произведение векторов широко используется в физике. Например, из курса механики известно, что работа А постоянной силы при перемещении тела из точки М в точку N рис. Домашнее задание: изучение материалов пунктов 101 и 102; повторить материал п. Урок 10 Скалярное произведение в координатах. Свойства скалярного произведения векторов Цели : ввести понятие скалярного произведения в координатах; изучить свойства скалярного произведения векторов и закрепить их знание при решении задач. Проверочная работа 10 мин. Известно, что , где и — координатные векторы. Дан вектор 0; 5. Запишите разложение вектора по координатным векторам и. Даны векторы —1; 2 и 2; 1. Найдите координаты суммы векторов и. Найдите координаты вектора , если —3; 0. Даны векторы 5; 6 и —2; 3. Две стороны треугольника равны 7 и 3 см, а угол между ними равен 120°. Найдите третью сторону треугольника. Скалярное произведение ненулевых векторов и равно нулю. Чему равен угол между векторами и? Дан вектор 3; 0. Запишите разложение вектора по координатным векторам и. Известно, что , где и — координатные векторы. Найдите координаты вектора — , если 0; —2. Даны векторы 2; —1 и 3; —1. Найдите координаты разности векторов и. Даны векторы —1; 9 и 3; —2. Две стороны треугольника равны 3 и 9 м, а угол между ними равен 60°. Найдите третью сторону треугольника. Чему равно скалярное произведение координатных векторов и? Скалярное произведение двух векторов можно вычислить, зная координаты этих векторов. Изучение теоремы о скалярном произведении векторов в координатах и свойств скалярного произведения полезно построить так, чтобы учащиеся сами проводили алгебраические преобразования. Решение Пусть ; , тогда по правилу треугольника или по правилу параллелограмма вектор есть равнодействующая сила. Математический диктант 10 мин. Вычислите скалярное произведение векторов и , если , а угол между ними равен 120°. Скалярное произведение ненулевых векторов и равно 0. Определите угол между векторами и. Вычислите скалярное произведение векторов и , если 3; —2 , —2; 3. Найдите угол между ненулевыми векторами х; у и — у; х. Вычислите косинус угла между векторами и , если 3; —4 , 15; 8. Даны векторы 2; —3 и х; —4. При каком значении х эти векторы перпендикулярны? Вычислите скалярное произведение векторов и , если , а угол между ними равен 135°. Скалярное произведение ненулевых векторов и равно нулю. Определите угол между этими векторами. Вычислите скалярное произведение векторов и , если —4; 5 , —5; 4. Найдите угол между ненулевыми векторами х; — у и у; х. Вычислите косинус угла между векторами и , если —12; 5 , 3; 4. Даны векторы 3; у и 2; —6. При каком значении у эти векторы перпендикулярны? Решение Пусть АВСD — данный ромб. Следовательно, АС ВD, то есть доказали, что диагонали ромба взаимно перпендикулярны. Решение Скалярный квадрат вектора равен квадрату его длины, тогда. Устный опрос учащихся по карточкам. Сформулируйте и докажите теорему синусов. Даны векторы х; —4 и 2; 3. Найдите значение х, если. Сформулируйте и докажите теорему косинусов. Найдите скалярное произведение векторов —5; 7 и 2; 1. Что такое скалярное произведение векторов? Сформулируйте и докажите теорему о вычислении площади треугольника по двум сторонам и углу между ними. Какие два вектора называются перпендикулярными? Выведите формулу, выражающую косинус угла между ненулевыми векторами через их координаты. Организация учащихся на выполнение работы. Выполнение работы по вариантам. Найдите угол между лучом ОА и положительной полуосью ОХ, если А —1; 3. Найдите косинус угла М треугольника KLМ, если К 1; 7 , L —2; 4 , М 2; 0. Найдите косинусы углов K и L. Найдите угол между лучом ОВ и положительной полуосью ОХ, если В 3; 3. Найдите косинусы углов А, В и С треугольника АВС, если А 3; 9 , В 0; 6 , С 4; 2. Найдите угол между лучом ОС и положительной полуосью ОХ, если С ; 1. Найдите угол между лучом ОD и положительной полуосью ОХ, если D —2; 2. Домашнее задание: повторить материал пунктов 39—41 и пунктов 21, 74—75 «Вписанная и описанная окружности». Окружность, описанная около правильного многоугольника Цели : повторить ранее изученный материал о сумме углов выпуклого многоугольника, о свойстве биссектрисы угла, теорему об окружности, описанной около треугольника, признак равнобедренного треугольника; сформировать у учащихся понятия «правильный многоугольник», «многоугольник, вписанный в окружность»; выработать умение формулировать и доказывать теорему об окружности, описанной около правильного многоугольника. Актуализация опорных знаний учащихся. Повторить формулу суммы углов выпуклого многоугольника и записать ее. Сформулировать свойство биссектрисы угла и признак равнобедренного треугольника. Повторить теорему об окружности, описанной около треугольника. Устно решить задачи: 1 Сколько сторон имеет п-угольник, если сумма его внутренних углов равна: а 1260°; б 1980°? Решить задачи на доске и в тетрадях: 1 Все углы выпуклого пятиугольника равны друг другу. Найдите величину каждого угла. Ввести понятие правильного многоугольника. Задать учащимся вопросы: 1 Какие правильные многоугольники уже рассматривались в курсе геометрии? Предложить учащимся вывести формулу для вычисления угла правильного многоугольника. Формулировка и доказательство теоремы об окружности, описанной около правильного многоугольника рис. Воспользоваться тем, что биссектриса любого угла правильного многоугольника проходит через центр вписанной окружности. Ответ: б 12, д 20. Домашнее задание: изучить материалы пунктов 105—106; ответить на вопросы 1—3, с. Урок 2 Окружность, вписанная в правильный многоугольник Цели : повторить теорему об окружности, вписанной в треугольник; повторить свойства касательной к окружности; сформулировать и доказать теорему об окружности, вписанной в правильный многоугольник; вырабатывать навыки решения задач. Сформулировать теорему об окружности, вписанной в треугольник. Сформулировать свойство касательной к окружности. Решить задачи на доске и в тетрадях: 1 Окружность радиуса 5 см касается сторон угла А в точках В и С. Докажите, что прямая, проходящая через их центры, перпендикулярна к отрезку АВ. Определение окружности, вписанной в многоугольник. Разобрать по рисунку 308 учебника доказательство теоремы об окружности, вписанной в правильный многоугольник. Дома учащиеся запишут доказательство этой теоремы. Записать в тетради следствие 1 и следствие 2. Записать в тетради правила нахождения для заданного правильного многоугольника центров описанной и вписанной окружностей, а также их радиусов: 1 Центром окружности, описанной около правильного многоугольника, является точка пересечения серединных перпендикуляров к сторонам многоугольника достаточно найти точку пересечения серединных перпендикуляров к двум соседним сторонам , а радиусом является отрезок биссектрисы угла многоугольника, соединяющий его вершину с центром. Решить задачи на доске и в тетрадях: 1. Докажите, что все диагонали правильного многоугольника равны. На каждой из сторон квадрата отмечены две точки, делящие каждую сторону в отношении 1 : : 1. Докажите, что эти точки служат вершинами правильного восьмиугольника. Постройте с помощью транспортира и циркуля правильный пятиугольник. Докажите, что три вершины правильного шестиугольника, взятые через одну, служат вершинами правильного треугольника. Докажите, что четыре вершины правильного восьмиугольника, взятые через одну, служат вершинами квадрата. Домашнее задание: повторить материал пунктов 105—107; ответить на вопросы 1—4, с. Вывод формул 1—6 из пункта 108 учебника учащиеся проводят самостоятельно под руководством учителя по заранее заготовленному на доске рисунку 308. Выведенные формулы оформить в виде таблицы, которую учащиеся записывают в тетради: п а R r S S 3 2 r 4 2 r 2 R 2 4 r 2 6 R n Эту таблицу учитель оформляет как настенную на картоне. Закрепление изученного материала решение задач. Решить задачу: Правильный треугольник АВС вписан в окружность с центром О и радиусом 8 см. На стороне этого треугольника построен квадрат. Определите радиус окружности, описанной около квадрата. Урок 4 Построение правильных многоугольников Цель : выработать у учащихся умение строить некоторые правильные многоугольники. Решить на доске часть заданий, вызвавших затруднения у учащихся. Рассмотреть решение задачи 1 пункта 109. Построение правильного треугольника, вписанного в окружность. Рассмотреть решение задачи 2 пункта 109. Построение правильного двенадцатиугольника, вписанного в окружность рис. Построение правильных четырехугольника, восьмиугольника, шестнадцатиугольника, вписанных в окружность. Построение правильных шестиугольника, треугольника, описанных около окружности. Построение правильных четырехугольника, восьмиугольника, описанных около окружности. Рассмотренные примеры показывают, что многие правильные многоугольники могут быть построены с помощью циркуля и линейки. Оказывается, что не все правильные многоугольники допускают такое построение. Доказано, например, что правильный семиугольник не может быть построен при помощи циркуля и линейки. Однако с помощью этих инструментов можно построить правильный семнадцатиугольник. Домашнее задание: выполнить аналогичное задание на чертежных листах построение правильных многоугольников, вписанных в окружность, и построение правильных многоугольников, описанных около окружности. Учитель может указать количество сторон правильного многоугольника. Лучшие работы пойдут в методическую копилку. Математический диктант 15 мин. Найдите угол правильного десятиугольника. Найдите сторону правильного треугольника, если радиус описанной около него окружности равен 2 м. Найдите радиус окружности, вписанной в правильный треугольник, если радиус описанной около него окружности равен 2 м. Найдите площадь правильного треугольника, если расстояние от его центра до вершины равно 2 м. Закончите предложение: «Угол с вершиной в центре окружности называется …» 6. Угол с вершиной в центре правильного многоугольника и сторонами, проходящими через две его соседние вершины, равен 36°. Сколько сторон имеет этот многоугольник? Чему равен cos 0°? С помощью циркуля и линейки постройте правильный шестиугольник. Сколько сторон имеет правильный многоугольник, если его сторона стягивает дугу описанной окружности, равную 18°? Найдите площадь квадрата, если радиус описанной около него окружности равен 2 дм. Закончите предложение: «Кругом называется часть плоскости …» 4. Найдите сторону квадрата, если расстояние от его центра до вершины равно 2 дм. Найдите радиус окружности, вписанной в квадрат, если радиус описанной около него окружности равен 2 дм. Чему равен cos 0°? Найдите угол правильного девятиугольника. С помощью циркуля и линейки постройте правильный треугольник. Изучение нового материала лекция. Поскольку материал пункта «Длина окружности» нетрадиционен и опирается на понятие предела, его изложение целесообразно дать в форме лекции. Дать представление о длине окружности с помощью нитки, обмотанной около дна стакана. Работа по рисункам 312 и 313 учебника. Вывод формулы, выражающей длину окружности через ее радиус. Записать в тетради вывод: отношение длины окружности к ее диаметру есть одно и то же число для всех окружностей. Закрепление изученного материала решение задач. Урок 6 Площадь круга Цели : вывести формулу площади круга и научить учащихся применять ее при решении задач. Изучение нового материала лекция. Провести в форме лекции доказательство площади круга. Дать определение понятия «круг». Вывести формулу площади круга рис. Записать в тетрадях: для вычисления площади S круга радиуса R применяется формула. В течение веков усилия многих математиков были направлены на решение задачи, получившей название задача о квадратуре круга: построить при помощи циркуля и линейки квадрат, площадь которого равна площади данного круга. Только в конце XIX века было доказано, что такое построение невозможно. Закрепление изученного материала решение задач. На здании МГУ установлены часы с круговым циферблатом, имеющим диаметр примерно 8,8 м. Найдите площадь циферблата этих часов и сравните с площадью вашей классной комнаты. Ответ: 60,8 м 2. На сторонах произвольного прямоугольного треугольника АВС, как на диаметрах, построены полукруги. Докажите, что сумма площадей полукругов, построенных на катетах, равна площади полукруга, построенного на гипотенузе. Решение Центр окружности, описанной около прямоугольного треугольника, лежит на середине гипотенузы, а радиус описанной окружности равен половине гипотенузы. Урок 7 Площадь кругового сектора Цели : ввести понятие кругового сектора, вывести формулу для вычисления площади кругового сектора; научить применять знания при решении задач. Выражение радиуса окружности через длину окружности. Формулы площади круга, радиуса круга через площадь круга, формула площади круга, выраженная через диаметр круга. Формула длины дуги окружности. Ввести понятие кругового сектора и понятие дуги сектора рис. Так как площадь всего круга равна π R 2, то площадь кругового сектора, ограниченного дугой в 1°, равна. Ввести понятие кругового сегмента и познакомить учащихся с нахождением площади кругового сегмента, используя таблицу «Круговой сегмент». АВСD — квадрат со стороной 1 дм. Найдите площадь «чечевицы», заштрихованной на рисунке. Решение Так как сторона квадрата равна 1 дм, то площадь квадрата АВСD равна 1 дм 2. Площадь треугольника АСD равна дм 2. Площадь сегмента АKС равна дм 2. Найти r и h. Ответ: 6 см; 18 см. Ответить на вопросы: 1. Какое тело называется цилиндром? Что такое ось, высота, основания, радиус, боковая поверхность, образующие цилиндра? Какой формулой выражается объем цилиндра? Какой формулой выражается площадь боковой поверхности цилиндра? Урок 6 Конус Цели : познакомить учащихся с понятием конуса, его элементами; вывести формулу, выражающую объем конуса и формулу площади боковой поверхности конуса; учить решать задачи; способствовать развитию логического мышления учащихся. С остальными учащимися проводится работа по ответам на вопросы 15—18 с. Найти: h длину провода. Учитель демонстрирует модели конуса, лейку в виде конуса; можно свернуть из бумаги кулек в виде конуса. Возьмем прямоугольный треугольник АВС и будем вращать его вокруг катета АВ рис. В результате получится тело, которое называется конусом Учитель показывает на доске изображение конуса, учащиеся рисуют конус в тетради. Прямая АВ называется осью конуса, а отрезок АВ — его высотой. При вращении катета ВС образуется круг, он называется основанием конуса. При вращении гипотенузы АС образуется поверхность, состоящая из отрезков с общим концом А рис. Ее называют конической поверхностью или боковой поверхностью конуса, а отрезки, из которых она составлена, — образующими конуса. Таким образом, конус — это тело, ограниченное кругом и конической поверхностью. Пользуясь принципом Кавальери, можно доказать см. Ввести понятие развертки боковой поверхности конуса рис. Развертка боковой поверхности конуса представляет собой круговой сектор. Радиус этого сектора равен образующей конуса, то есть равен l, а длина дуги сектора равна длине окружности основания конуса, то есть равна 2 π r. Площадь S бок боковой поверхности конуса равна площади ее развертки, то есть , где α — градусная мера дуги сектора рис. Итак, площадь боковой поверхности конуса с образующей l и радиусом основания r выражается формулой. Учащиеся решают самостоятельно, потом решение задачи проверяется. По условию S полн. Найдем объем конуса дм 3. Учитель объясняет решение задачи. Решение В тетрадях учащиеся записывают следующую теорему: «Объемы двух подобных тел относятся как кубы их соответствующих линейных размеров». Найти объем данного конуса V. Ответ: 375 см 3. Найти α дугу развертки боковой поверхности конуса. Ответ : 9π см 2; 6 см. Домашнее задание : изучить материал пункта 126; ответить на вопросы 19—22 с. Урок 7 Сфера и шар Цели : ввести понятие сферы, центра сферы, радиуса сферы, диаметра; дать определение шара; научить учащихся изображать шар; рассмотреть доказательство теоремы об объеме шара и площади сферы; развивать умение решать задачи. Проверочная работа 10 мин. Учащиеся на отдельных листочках отвечают на вопросы, выполняют построения, а затем сдают учителю работы на проверку. Объясните, какое тело называется цилиндром; что такое ось, высота, основание, радиус, боковая поверхность, образующие цилиндра. Какой формулой выражается объем цилиндра? Объясните, как получается и что представляет собой развертка боковой поверхности цилиндра. Запишите формулу площади боковой поверхности цилиндра. Объясните, какое тело называется конусом; что такое ось, высота, основание, боковая поверхность, образующие конуса. Какой формулой выражается объем конуса? Объясните, как получается и что представляет собой развертка боковой поверхности конуса. Запишите формулу площади боковой поверхности конуса. Учащиеся самостоятельно изучают материал пункта 127 «Сфера и шар» с. В тетрадях учащиеся записывают: а Сферой называется поверхность, состоящая из всех точек пространства, расположенных на данном расстоянии от данной точки. Данная точка называется центром сферы, а данное расстояние — радиусом сферы. Центр, радиус и диаметр сферы называются также центром, радиусом и диаметром шара. Найти R и S. Найти R и V. Ответ: 4 см; π см 3. Значит, объем земли в 64 раза больше объема луны. Ответ: в 64 раза. Положим две ложки мороженого в виде полушарий, тогда вместе они составляют шар диаметром 5 см, то есть радиусом 2,5 сантиметра. Поэтому объем шара объем мороженого меньше объема конуса объема стаканчика для мороженого. Значит, мороженое, если оно растает, не переполнит стаканчик. Решение Отношение объемов двух шаров равно кубу коэффициента подобия, так как любые шары — это подобные тела. Аналогично теореме «отношение площадей двух подобных треугольников фигур равно квадрату коэффициента подобия» см. Ответ: 4 : 1. Об аксиомах и планиметрии 2 часа При завершении курса планиметрии в конце 9 класса два урока отводятся на ознакомление учащихся с аксиоматическим методом, в частности с системой аксиом, которые положены в основу изученного курса геометрии. На первом уроке желательно провести с учащимися беседу об аксиоматическом методе в геометрии. В связи с этим необходимо напомнить им некоторые факты о возникновении и развитии геометрии. Для этой беседы рекомендуется использовать приложения 1 и 3 учебника: «Об аксиомах планиметрии» и «Некоторые сведения о развитии геометрии», а также дополнительную литературу. В зависимости от уровня подготовки класса на втором уроке можно разобрать один или два примера теорем, которые в курсе были доказаны на основе наглядных представлений, и доказать их с использованием принятых в учебнике аксиом. Один из таких примеров теорема, выражающая первый признак равенства треугольников разобран в приложении 1 учебника. Решение задач при повторении курса геометрии необходимо сконцентрировать внимание учащихся на узловых вопросах программы. Основные факты планиметрии и применяемые в ней методы можно сгруппировать по следующим темам: 1. «Четырехугольники, многоугольники» 2 часа. «Векторы, метод координат, движения» 2 часа. Рассмотрение этих вопросов может включать обобщение и систематизацию сведений об основных свойствах геометрических фигур, доказательство отдельных теорем, решение комплексных задач. При повторении полезно обращать внимание учащихся на различные методы геометрических доказательств. В зависимости от подготовки класса повторение можно проводить по всем или отдельным вопросам рассматриваемой темы. Для организации итогового повторения можно воспользоваться подбором задач по указанным выше темам Треугольник Основные вопросы программы: равенство и подобие треугольников, сумма углов треугольника, равнобедренный треугольник, прямоугольный треугольник, площадь треугольника. На рисунке дан прямоугольный треугольник АВС с гипотенузой АВ, DЕ АВ. С помощью циркуля и линейки постройте треугольник АВС по сторонам АВ и АС и высоте, проведенной к АС. Площадь треугольника АВС равна Q. Найдите площадь треугольника АОВ 1, где О — точка пересечения медиан треугольника АВС, а В 1 — середина стороны АС. С помощью циркуля и линейки постройте равнобедренный треугольник АВС по основанию АС и углу В и биссектрису ВD внешнего угла этого треугольника при вершине В. Хорда АВ окружности радиуса 4 см видна из центра под углом 90°. Найдите: 1 хорды ВD и СD; 2 расстояние от точки А до прямой ВD; 3 радиус данной окружности. Найдите: 1 сторону АС; 2 угол ВАС; 3 радиус окружности, описанной около треугольника АВС. В равнобедренный треугольник АВС с основанием АС вписана окружность, касающаяся сторон АВ и ВС в точках М и Н. Многоугольники Основные вопросы программы: параллелограмм и его свойства; признаки параллелограмма; прямоугольник, ромб, квадрат и их свойства; трапеция, многоугольник, правильные многоугольники. Найдите: 1 отрезки ВЕ и ЕС; 2 отрезки ВK и KD и S АВЕ, если K — точка пересечения АЕ и ВD, а угол А равен 60°. На рисунке 2 АВСD — параллелограмм, угол 1 равен углу 2. Меньшая диагональ параллелограмма перпендикулярна к его стороне, а высота, проведенная из вершины тупого угла, делит большую сторону на отрезки, равные 9 см и 16 см. Расстояние между параллельными прямыми АD и ВС равно 2 см. Найдите: 1 углы параллелограмма; 2 площадь треугольника АВС; 3 радиус окружности, описанной около треугольника DКС. В равнобедренную трапецию, основания которой равны 2 см и 8 см, вписана окружность. Найдите: 1 боковую сторону трапеции; 2 радиус вписанной окружности; 3 площадь трапеции. В ромб, сторона которого равна диагонали и равна а, вписана окружность, а в эту окружность вписан правильный треугольник. Найдите: 1 радиус окружности; 2 сторону треугольника; 3 площади ромба, круга и правильного треугольника. Каждый угол правильного п-угольника А 1 А 2… А п равен 150°. Внешний угол правильного п-угольника А 1 А 2… А п в три раза меньше угла этого многоугольника. Четырехугольник АВСD задан координатами своих вершин: А —3; —2 , В —1; 2 , С 2; 2 , D 4; —2. Дан правильный шестиугольник АВСDЕF со стороной а. Найдите скалярное произведение векторов: 1 ; 2 ; 3 ; 4. Найдите косинусы углов треугольника АВС, если А 1; 3 , В 8; 2 , С 5; —1. В параллелограмме АВСD диагональ ВD равна стороне ВС, точка М — середина стороны ВС, отрезок DМ перпендикулярен к диагонали АС. Две окружности радиуса r с центрами О 1 и О 2 касаются друг друга в точке М. На первой окружности отмечена точка А, а на второй — точка В так, что хорды АМ и ВМ взаимно перпендикулярны. На сторонах правильного треугольника построены квадраты. Докажите, что центры этих квадратов являются вершинами правильного треугольника. Все материалы, размещенные на сайте, созданы авторами сайта либо размещены пользователями сайта и представлены на сайте исключительно для ознакомления. Авторские права на материалы принадлежат их законным авторам. Частичное или полное копирование материалов сайта без письменного разрешения администрации сайта запрещено! Мнение редакции может не совпадать с точкой зрения авторов. Ответственность за разрешение любых спорных моментов, касающихся самих материалов и их содержания, берут на себя пользователи, разместившие материал на сайте. Однако редакция сайта готова оказать всяческую поддержку в решении любых вопросов связанных с работой и содержанием сайта. Если Вы заметили, что на данном сайте незаконно используются материалы, сообщите об этом администрации сайта через форму обратной связи.